Андрей Дорошев родился 4 декабря 1980 года в городе Краснодар. Окончил среднюю школу № 73 родного города. После школы в 2002 году получил высшее образование в Белгородском университете потребительской кооперации, по специальности менеджер. Позднее прошел курсы профессиональной переподготовки в Международном институте менеджмента ЛИНК.
Начал трудовую деятельность в 1999 году в ОАО «Кубаньхлебопродукт».
С 2003 по 2006 года работал в Государственном унитарном предприятии Краснодарского края «Кубанский продовольственный фонд», ООО «Кубаньзернопродукт», ООО «Юг Руси Агро», ГУП КК «Кубаньплемподдержка». Затем, в течение двух лет, трудился на должностях государственной гражданской службы в администрации Краснодарского края - Департаменте внешнеэкономической деятельности края.
Андрей Александрович с января 2008 года работал в должности заместителя главы администрации Пашковского сельского округа муниципального образования город Краснодар. Впоследствии, в июне 2011 года, стал главой администрации округа.
Занимает должность главы администрации Прикубанского внутригородского округа муниципального образования города Краснодар с 5 февраля 2016 года.
Распоряжением главы Краснодара Евгения Первышова 12 февраля 2019 года Андрей Дорошев назначен на пост вице-мэра Краснодара по вопросам жилищно-коммунального хозяйства.
На новой должности он будет заниматься вопросами взаимодействия с ресурсоснабжающими организациями, модернизацией инженерной инфраструктуры, выполнением программ, в которых принимает участие краевая столица: по ремонту домов, благоустройству зеленых зон.
Женат. Воспитывает двух сыновей.